Obvody stejnosměrného proudu

Metoda smyčkových proudů k řešení obvodů s více zdroji

Umožňuje zjednodušit výpočty obvodů s více zdroji tak, že sníží počet neznámých (a tím počet rovnic k řešení) o jednu. Využívá představu smyšlených smyčkových proudů, které protékají vnitřními smyčkami a potkávají se ve společných větvích.

Rovnice se tedy sepisují pro tyto smyšlené proudy podle Kirchhoffova zákona pro napětí ve smyčkách, napětí zdrojů budou mít kladné znaménko pokud jejich orientace je souhlasná ze zvoleným směrem smyčkového proudu, úbytky napětí na rezistorech se zapisují vždy jako kladné, přičemž u společné větve se při výpočtu úbytku napětí na rezistoru uplatní oba smyčkové proudy. Nejdříve si uvedeme postup zápisu rovnice pro první smyčku a následně si ukážeme zjednodušený postup, který se naučíme používat...

Metoda smyčkových proudů - zápis rovnice

Smyčka 1: šipka napětí zdroje U01 má opačný směr než smyčkový proud, napětí bude tedy záporné, úbytek na rezistoru R1 je tvořen smyčkovým proudem I_S1, šipka napětí zdroje U02 má souhlasný směr jako smyčkový proud, napětí bude tedy kladné, úbytek na rezistoru R2 je tvořen rozdílem smyčkových proudů I_S1-I_S2.

Zjednodušený postup:

1. Zakreslíme směry napětí u všech zdrojů.
2. Zakreslíme smyčkové proudy vnitřních smyček (všechny kreslíme ve stejném smyslu, například podle otáčení hodinových ručiček).
3. Zapíšeme pro každou smyčku rovnici , ve které bude roven nule:
    → součet všech napětí zdrojů v této smyčce se správnými znaménky (podle napěťové šipky zdroje vůči smyčkovému proudu - ve směru kladné, proti směru záporné)
    → plus součet všech rezistorů v této smyčce vynásobený daným smyčkovým proudem
    → mínus součet rezistorů ze společné větve s jinou smyčkou vynásobený tím jiným smyčkovým proudem
4. Řešíme soustavu rovnic.
5. Z vypočítaných hodnot smyčkových proudů určíme:
    → skutečné proudy ve větvích, kterými protéká jeden smyčkový proud, přičemž směry skutečných proudů odvodíme od znamének a směrů smyčkových proudů
    → skutečné proudy ve větvích společných pro více smyčkových proudů určíme rozdílem smyčkových proudů, přičemž směry skutečných proudů odvodíme od znaménka výsledku rozdílu a směru prvního smyčkového proudu v rozdílu.
    → výsledky zkontrolujeme pomocí Kirchhoffova zákona pro proudy.
6. Ze skutečných proudů ve větvích spočítáme úbytky napětí na jednotlivých rezistorech.

Metoda smyčkových proudů - příklad 1

Smyčka 1: šipka napětí zdroje U01 má opačný směr než smyčka 1, napětí bude tedy záporné, šipka napětí zdroje U02 má stejný smysl, bude tedy kladné, přičteme součet rezistorů R1 a R2 vynásobený smyčkovým proudem I_S1 (který jimi protéká) a odečteme rezistor R2 vynásobený smyčkovým proudem I_S2, který jím protéká.

Smyčka 2: šipka napětí zdroje U02 má opačný směr jako smyčka 2, napětí bude tedy záporné, přičteme součet rezistorů R2, R3 a R4 vynásobený smyčkovým proudem I_S2 (kterými protéká) a odečteme rezistor R2 vynásobený smyčkovým proudem I_S1, který jím protéká..

Dosazením hodnot a řešením rovnic dojdeme k hodnotám smyčkových proudů (je vhodné rovnice přerovnat tak, aby vlevo byly neznámé proudy ve stejném pořadí a vpravo konstanty):

Smyčka 1:

Smyčka 2:

Obě rovnice řešíme například součtovou metodou (rovnice rozšíříme tak, aby po jejich součtu jedna neznámá vypadla):

Obě strany rovnic sečteme:

Výsledek dosadíme do libovolné z obou rovnic:

Tak jsme spočítali hodnoty smyčkových proudů:

Z nich pak určíme skutečné proudy ve větvích.

Proud I2 je roven rozdílu smyčkových proudů I_S1-I_S2, který vyšel kladný, I2 má tedy stejnou orientaci jako smyčkový proud I_S1

Proud I3 je roven smyčkovému proudu I_S2, který má kladné znaménko, I3 má tedy stejnou orientaci.

Pomocí Ohmova zákona spočítáme úbytky napětí na rezistorech:

Simulace obvodu řešeného metodou smyčkových proudů - příklad 1

Metoda smyčkových proudů - příklad 2

Smyčka 1: šipka napětí zdroje U01 má opačný smysl jako smyčka 1, napětí bude tedy záporné, šipka napětí zdroje U02 má stejný smysl, napětí bude tedy kladné, proud I_S1 protéká rezistory R1, R2 a R3, do smyčky zasahuje proud I_S2 protékající rezistorem R3.

Smyčka 2: šipka napětí zdroje U02 má opačný smysl jako smyčka 2, napětí bude tedy záporné, proud I_S2 protéká rezistory R3 a R4, do smyčky zasahuje proud I_S1 protékající rezistorem R3.

Dosazením hodnot a řešením rovnic dojdeme k hodnotám smyčkových proudů:

Smyčka 1:

Smyčka 2:

Řešíme soustavu rovnic:

Ze smyčkových proudů určíme skutečné proudy ve větvích:

Proud I2 vyšel záporný, bude mít tedy opačnou orientaci než I_S1.

Proud I3 má stejnou orientaci jako I_S2.

Pomocí Ohmova zákona spočítáme úbytky napětí na rezistorech:

Simulace obvodu řešeného metodou smyčkových proudů - příklad 2