Magnetické pole

Vznik a zobrazení magnetického pole

Magnetické pole vzniká kolem pohybujících se elektrických nábojů. V případě elektromagnetů jde o pohyb volných elektronů (nosičů elektrického náboje) tvořený elektrickým proudem.
U permanentních magnetů je magnetické pole vytvářeno pohybem elektronů kolem jádra atomu. Pokud jsou směry těchto miniaturních (elementárních) magnetů náhodné, magnetická pole jednotlivých atomů se vyruší a materiál nevykazuje magnetické vlastnosti. Pokud jsou všechny uspořádané v jednom směru, navzájem se sčítají a materiál trvale (permanentně) vytváří magnetické pole.

Permanentní magnety mohou mít nejrůznější tvary. Silové účinky se projevují nejvíce na tzv. pólech magnetu - označovaných jako Severní a Jižní (anglicky North a South).

Magnetické póly

Označení pólů magnetů bylo odvozeno od pólů zeměkoule, která má také své magnetické pole (vytvářené otáčejícím se roztaveným železným jádrem země). Volně uchycené magnety (magnetické střelky kompasů) se ustálí tak, že jejich severní pól směřuje k severu zeměkoule (kde se nachází jižní magnetický pól zeměkoule).

Silové účinky magnetického pole

Magnetické pole se projevuje silovými účinky - magnety přitahují železné (feromagnetické) předměty a buď přitahují nebo odpuzují jiné magnety (podle vzájemné orientace).

Magnetické pole zobrazujeme pomocí magnetických indukčních čar (magnetických siločar) - které lze i skutečně vidět s pomocí železných pilin nasypaných například na papír položený na tyčovém magnetu:

Tyčový magnet

Magnetické indukční čáry vždy tvoří uzavřené křivky, které procházejí magnetem a vystupují u jeho severního pólu do prostoru kolem magnetu, aby se do něj vrátily u jeho jižního pólu. Směr indukčních čar tedy vyznačujeme vně magnetu od severního k jižnímu pólu (uvnitř magnetu od jižního k severnímu).

Střelka kompasu nacházejícího se v magnetickém poli ukazuje svým severním koncem orientaci magnetických indukčních čar.

Podkovovitý magnet

Knoflíkový magnet

Silové působení mezi magnety

Dva magnety na sebe silově působí tak, že opačné póly se přitahují a souhlasné póly se odpuzují.

Rozpůlením tyčového magnetu vzniknou dva nové magnety s novými póly.

Spojením více magnetů za sebe vznikne nový magnet se dvěma póly, přičemž silové účinky jednotlivých magnetů se sčítají.

Dva tyčové magnety otočené k sobě opačnými póly se přitahují

Magnetické indukční čáry kolem dvou magnetů s opačnými póly

Zobrazení pomocí železných pilin

Detail mezi dvěma póly

Dva tyčové magnety otočené k sobě souhlasnými póly se odpuzují

Magnetické indukční čáry kolem dvou magnetů se stejnými póly

Zobrazení pomocí železných pilin

Detail mezi dvěma póly

Magnetické pole tvořené elektrickým proudem

V okolí pohybujících se nosičů elektrického náboje ve vodiči vzniká magnetické pole. Jinými slovy, ve vodiči a v prostoru kolem vodiče protékaného proudem vzniká magnetické pole.

Magnetické pole v okolí přímého vodiče

Magnetické pole
přímého vodiče

Zobrazení
indukčních čar
magnetického pole
přímého vodiče
pomocí pilin

Průchodem proudu vodičem vzniká magnetické pole, jehož magnetické indukční čáry mají tvar soustředných kružnic, které jsou orientovány dle pravidla pravé ruky. V tomto případě nejsou vytvořeny magnetické póly.

Pravidlo pravé ruky

Pokud budeme vodič kreslit v řezu, rozlišujeme směr proudu pomocí tečky nebo křížku (šíp letí k nám, nebo od nás).

Magnetické pole v okolí závitu

Magnetické pole v okolí závitu

Magnetické pole v okolí závitu je tvořeno sčítáním jednotlivých magnetických polí ve vnitřní části stočeného vodiče a podobá se magnetickému poli knoflíkového magnetu. Závit tedy vytváří severní a jižní pól.

Určení směru magnetických indukčních čar
kolem stočeného vodiče (závitu)
Palec ukazuje směr proudu v závitu
a prsty ukazují směr indukčních čar

Zobrazení indukčních čar závitu pomocí pilin

Magnetické pole v okolí tenké cívky

Magnetické pole v okolí tenké cívky

Magnetické pole v okolí tenké cívky je co se týče uspořádání stejné jako v okolí jednoho závitu (je dáno součtem magnetických polí jednotlivých závitů cívky) a odpovídá taktéž poli knoflíkového magnetu. I tenká cívka tedy vytváří severní a jižní pól (siločáry z cívky vychází na severním pólu a vrací se do jižního pólu.

Magnetické pole v okolí válcové - dlouhé cívky (solenoidu)

Magnetické pole v okolí válcové - dlouhé cívky

Magnetické pole v okolí válcové - dlouhé cívky je tvořeno součtem magnetických polí jednotlivých závitů a podobá se magnetickému poli tyčového magnetu. Dlouhá cívka tedy také vytváří severní a jižní pól (siločáry z cívky vychází na severním pólu a vrací se do jižního pólu.

Upravené pravidlo pravé ruky:
Prsty ukazují směry proudů v závitech cívky a palec ukazuje k severnímu pólu cívky

Zobrazení indukčních čar cívky pomocí pilin

Zobrazení indukčních čar cívky pomocí pilin

Magnetické pole toroidní cívky

Magnetické pole toroidní cívky

Magnetické pole se vytváří především uvnitř cívky, do okolí se rozptýlí jen minimální část. Cívka nevytváří magnetické póly.

Zobrazení indukčních čar toroidní cívky pomocí pilin

Intenzita magnetického pole

Magnetické pole se projevuje silovými účinky. Permanentní magnety se přitahují nebo odpuzují, taktéž vodiče a cívky, kterými protéká elektrický proud, vykazují silové účinky jak navzájem, tak na permanentní magnety nebo železné kovy.
Míru silového působení magnetického pole na myšlený kousek železa umístěného do magnetického pole popisuje veličina Intenzita magnetického pole H.

Pro lepší představu: těsně u "zdroje" magnetického pole, kde je nahuštěno nejvíc siločar, jsou silové účinky nejintenzivnější (intenzita magnetického pole je zde velká a kousek železa by se v tomto místě silně přitahoval) a se zvětšující se vzdáleností od "zdroje" jsou silové účinky méně intenzivní (intenzita magnetického pole je zde malá a kousek železa by se v tomto místě přitahoval slabě).

Pokud vodičem protéká proud I, v okolí vodiče vznikne magnetické pole vybuzené tímto protékajícím proudem, zobrazované pomocí siločar. Takže zdrojem magnetického pole je elektrický proud. My ale máme zafixováno, že základní vlastností "zdroje" je "napětí", takže si zavedeme novou pomocnou veličinu: Magnetické napětí.

Magnetické napětí se rozloží po celé délce siločáry, přičemž intenzita magnetického pole v určitém konkrétním místě je pak dána velikostí magnetického napětí na jednotku délky siločáry.
Pro lepší představu: i napětí elektrického zdroje se rozloží po celé délce elektrického obvodu tvořícího "proudové pole" a čím je vodič delší, tím v něm bude menší "intenzita proudového pole", která bude dána velikostí elektrického napětí na jednotku délky.

Intenzita magnetického pole je vektor a v daném místě je dán tečnou k siločáře a směr má podle orientace siločáry.

Obecný vztah pro výpočet velikost intenzity magnetického pole tvořeného proudem I na siločáře o délce l:

Výpočty magnetických polí v okolí vodičů a cívek jsou mimo možnosti středoškolské matematiky. Následující zjednodušené vztahy byly odvozeny pro konkrétní vybrané pravidelné tvary vodičů a cívek.

Magnetické pole v okolí přímého vodiče

Siločáry magnetického pole kolem přímého vodiče mají tvar kružnice, takže délka siločáry ve vzdálenosti a od vodiče je l=2·π·a.

Magnetické pole uvnitř vodiče

Uvnitř vodiče vzniká také magnetické pole a siločáry. Můžeme si představit, že magnetické pole na dané siločáře je tvořeno poměrným množstvím proudu protékajícího částí vodiče uvnitř této siločáry. Elektrický proud ve vodiči je rovnoměrně rozložen na ploše vodiče, což popisuje veličina proudová hustota J a poměrné množství proudu I_a uvnitř siločáry o poloměru a lze tedy spočítat I_a=J·S_a=J·π·a²

Intenzita magnetického pole ve vodiči a kolem něho má takovýto průběh:

Uvnitř vodiče roste intenzita lineárně.

Maximální hodnota intenzity je na povrchu vodiče:

Magnetické pole uvnitř závitu

Výsledné magnetické pole je tvořeno součtem magnetických polí jednotlivých kousků vodiče. Intenzitu magnetického pole přesně uprostřed závitu lze spočítat z odvozeného vzorce:

Magnetické pole uvnitř tenké cívky

Výsledné magnetické pole je opět tvořeno součtem magnetických polí jednotlivých kousků vodiče, přičemž pokud má cívka N závitů, takže uvnitř každé siločáry protéká proud I N-krát. Intenzitu magnetického pole přesně uprostřed cívky lze spočítat z odvozeného vzorce:

Magnetické pole uvnitř dlouhé cívky

Magnetické siločáry prochází vnitřkem cívky a uzavírají se ve volném prostoru kolem cívky. Pro přibližný výpočet intenzity magnetického pole uvnitř cívky, která má N závitů, stačí uvažovat jenom tu část siločáry, která se nachází uvnitř cívky o délce l, přičemž výsledné pole v ose cívky je dáno součtem polí tvořených jednotlivými závity.

Magnetické pole uvnitř toroidní cívky

Většina magnetického pole je uzavřena uvnitř toroidní cívky a pro výpočet délky kruhové siločáry můžeme použít střední poloměr toroidu.

Magnetická indukce

Intenzita magnetického pole je nezávislá na prostředí, ve kterém se magnetické pole nachází. Silové účinky se ale podle prostředí mění. Vliv prostředí se liší podle typu látky. Některé látky magnetické pole ovlivňují velmi málo, jiné (například železné kovy) ho zesilují - tím že se samy zmagnetují, zesilují výsledné pole a zvětšují hustotu siločar.

Míru silových účinků magnetického pole v různých prostředích popisuje veličina Magnetická Indukce B. Jednotkou magnetické indukce je T (Tesla).
Magnetická indukce je opět vektor a má stejný směr i orientaci jako intenzita magnetického pole. Magnetickou indukci je možné také chápat jako hustotu siločar magnetického pole v ploše kolmé na siločáry v daném prostředí.

Vliv prostředí reprezentuje veličina Permeabilita μ, kterou můžeme chápat jako měrnou magnetickou vodivost látek (jak snadno magnetické pole prostupuje daným prostředím).

Absolutní permeabilita se skládá z permeability vakua μ₀ a bezrozměrné relativní permeability μ_r prostředí.

Relativní permeabilita μ_r různých materiálů je bezrozměrná - je vztažena k permeabilitě vakua μ₀.

Dělení látek podle vlivu na magnetické pole

Většina látek magnetické pole neovlivňují, nebo jen velmi málo.

Diamagnetické látky mají relativní permeabilitu jen o něco málo menší než 1 a vnější magnetické pole mírně zeslabují, jako například voda nebo měď.

Paramagnetické látky mají relativní permeabilitu o něco málo větší jak 1 a magnetické pole mírně zesilují, jako například kyslík nebo hliník, ale bez vnějšího pole neudrží vlastní magnetismus.

Feromagnetické látky mají relativní permeabilitu mnohem větší jak 1 a magnetické pole hodně zesilují, jako například železo nebo kobalt. Tylo látky lze více či méně zmagnetovat, neboli po odstranění vnějšího magnetického pole vykazují permanentní magnetické vlastnosti.

Hysterezní křivka

Feromagnetické materiály se ve vnějším magnetickém poli chovají tak, že nízké intenzity vnějšího pole nezvládnou natočit vnitřní magnety a materiál se chová spíše jako paramagnetický μ_r≈1. Pokud intenzita vzroste natolik, že se vnitřní magnety začnou natáčet, materiál bude zesilovat vnější magnetické pole μ_r>>1.
Pokud intenzita bude dále růst, při maximální hodnotě už se všechny vnitřní magnety natočí - dojde k magnetickému nasycení při indukci B_S - materiál se opět jeví jako paramagnetický a dále už magnetické pole nezesiluje. To znamená, že permeabilita feromagnetických materiálů není konstanta, ale mění se podle intenzity vnějšího magnetického pole.
Grafické vyjádření této závislosti se nazývá křivka prvotní magnetizace.

Když bude intenzita vnějšího pole klesat, podle typu materiálu se některé vnitřní magnety opět natočí náhodně, ale některé zůstanou ve směru vnějšího magnetického pole a materiál vykazuje zbytkový (remanentní) magnetismus B_r. Pro vynulování zbytkového magnetismu je zapotřebí intenzita H_C.
Pokud se orientace vnějšího magnetického pole otočí, vnitřní magnety se musí také obrátit, což způsobí, že bude zapotřebí větší hodnota intenzity vnějšího pole, než u prvotní magnetizace.
Grafické vyjádření tohoto chování feromagnetického materiálu se nazývá hysterezní křivka

Čím víc je materiál zmagnetovatelný (magneticky tvrdší), tím širší je jeho hysterezní křivka a tím také větší hodnota B_r.

Výrobci udávají v katalogových listech magnetizační charakteristiky, ze kterých se při výpočtech odečítají skutečné hodnoty intenzity, nebo indukce. Viz například magnetizační charakteristiky transformátorových plechů. Případně mohou být uvedeny i závislosti permeability na intenzitě magnetického pole.

Magnetický tok

Magnetické pole můžeme chápat jako obdobu elektrického pole. Magnetické napětí tvořené průchodem proudu vodičem vybudí v okolním prostředí magnetický tok ve formě siločar. Celkové množství siločar procházejících danou plochou kolmou na siločáry (neboli magnetický tok touto plochou) můžeme určit z hustoty siločar, neboli z magnetické indukce.

Magnetické obvody a jejich řešení

Pokud do předchozího vztahu dosadíme veličiny magnetického pole, můžeme odvodit tzv. Hopkinsonův zákon, což je obdoba Ohmova zákona pro magnetické obvody:

Analogie magnetických a elektrických obvodů

Pokud vodičem protéká proud I, v okolí vodiče vznikne magnetické pole vybuzené tímto protékajícím proudem zobrazované pomocí siločar, což si můžeme zjednodušit porovnáním s elektrickým obvodem:

Zdroj vytváří napětí U - ke zdroji jsou připojené vodiče, kterými zdroj protlačuje proudy I_n. Libovolně zvolený kousek vodiče klade průchodu proudu odpor R, takže na něm vzniká úbytek napětí U_R=R·I. Tento úbytek je přímo úměrný odporu vodiče, takže čím delší kousek vodiče změříme, tím větší úbytek na něm bude. Napětí zdroje se tedy rozloží po celé délce vodiče. Čím větší proud protéká daným kouskem vodiče, tím větší množství tepla se v něm vytvoří.

Analogicky - v magnetickém obvodu si zavedeme veličinu Magnetické napětí U_m=I, které je generováno průchodem proudu vodičem. Magnetické napětí bude protlačovat prostorem magnetický tok Φ ve formě siločar. Libovolně zvolený kousek prostoru klade magnetickému toku odpor R_m, takže na něm vzniká úbytek magnetického napětí U_Rm=R_m·Φ. Tento úbytek je přímo úměrný magnetickému odporu prostředí, takže čím delší úsek vyplněný siločárami zkoumáme, tím větší úbytek na něm bude. Magnetické napětí se tedy rozloží po celé délce siločar. Čím větší magnetický tok protéká prostorem vyplněným siločarami, tím větší silou bude působit na jiné magnety a feromagnetické materiály.

Veličina Magnetický odpor R_m udává, jak se dané prostředí o měrné magnetické vodivosti µ brání průchodu magnetického pole plochou S v délce siločar l.

Výpočet magnetického obvodu

Pokud magnetický tok prostupuje více prostředími, pro výpočty můžeme použít náhradu pomocí elektrického obvodu složeného z magnetických zdrojů napětí (vodičů a cívek protékaných proudem) a magnetických rezistorů (prostředí kladoucí větší či menší odpor magnetickému poli). Pokud magnetický tok protéká feromagnetickými materiály, při řešení se musí uvažovat s proměnnou hodnotou permeability a odečítat hodnoty indukce nebo intenzity z magnetizačních charakteristik.

Energie MP

Elektrický proud po zapnutí během vytváření magnetického pole kolem vodiče vykonává práci. Do prostoru kolem vodiče se tak nahromadí energie:

Na udržování magnetického pole už se další práce nevykonává, energie je v prostoru akumulována a lze ji zase odebrat (podobně jako z nabitého kondenzátoru).

Pokud do vzorce dosadíme z předchozích vztahů, získáme tvar udávající množství energie nahromaděné v magnetickém poli v určitém prostoru (objemu).

Silové účinky MP

Silové účinky kolem permanentních magnetů nebo vodičů a cívek lze experimentálně ověřit.

Pokusné ověření závislosti
přitažlivé síly magnetů na jejich počtu

Jednoduchým pokusem prozkoumáme, že přitažlivá síla stejných magnetů se jejich přidáváním lineárně sčítá.

Pokusné ověření závislosti
přitažlivé síly magnetu na vzdálenosti

Dalším pokusem zjistíme, že se vzdáleností klesá nadlehčování železného tělesa nelineárně (hyperbolicky).

Graf závislosti přitažlivé síly magnetu na vzdálenosti

Stejné pokusy můžeme provést i s pomocí vodičů a cívek a zjistíme, že přitažlivá síla jednotlivých závitů v cívkách se sčítá a síla roste s počtem závitů lineárně. Dalším pokusem si můžeme ověřit, že přitažlivá síla cívky závisí na velikosti proudu také lineárně.

Výpočet síly působící na vodič v MP

Pokud je vodič protékaný proudem umístěný ve vnějším magnetickém poli, působí na něj síla. (obecně tato síla působí na jakékoliv pohybující se náboje). Velikost síly působící na vodič o délce l v homogenním magnetickém poli za předpokladu, že siločáry vnějšího magnetického pole jsou kolmé na siločáry magnetického pole vybuzené vodičem, lze určit ze vztahu:

Tento vztah se nazývá Ampérův silový zákon.

Směr působení síly lze určit Flemingovým pravidlem levé ruky:
Umístíme levou ruku tak, aby siločáry vnějšího magnetického pole vstupovaly kolmo do dlaně, přičemž prsty budou ukazovat směr proudu vodičem, odtažený palec ukáže směr působení síly na vodič.

Pokud chceme zkoumat sílu působící na pohybující se náboj, můžeme odvodit následující vztah.

Pro silové působení mezi dvěma rovnoběžnými vodiči protékanými proudy I₁ a I₂, které mají délku l a jsou vzdálené d můžeme odvodit následující vztah:

Pro vodiče ve vakuu lze tento vztah zjednodušit na tvar:

Pokud budou proudy ve vodičích ve stejném směru, budou se vodiče přitahovat, v opačném případě se budou odpuzovat.

Výpočet síly elektromagnetu

Pokud je magnetický obvod uzavřen těsně (bez vzduchové mezery), je přídržná síla elektromagnetu dána indukcí v magnetickém obvodu (jádře) a lze ji spočítat odvozeným vzorcem (kde B je indukce v jádře, S plocha jádra a k_r koeficient rozptylu v rozsahu 1,1-1,6):

Pokud je mezi feromagnetickým materiálem a elektromagnetem vzduchová mezera, lze magnetický odpor jádra cívky zanedbat a přitažlivá síla je dána především indukcí ve vzduchové mezeře a lze ji přibližně spočítat odvozeným vztahem (kde N je počet závitů cívky, I proud cívkou, S plocha jádra, l celková délka vzduchové mezery a k_r koeficient rozptylu v rozsahu 1,1-1,6):