Obvody stejnosměrného proudu

Kirchhoffovy zákony

Kirchhoffovy zákony spolu s Ohmovým zákonem umožňují řešení elektrických obvodů.

První Kirchhoffův zákon pro proudy v uzlu

Algebraický součet znamená "součet" se správnými znaménky: vtékající proudy do uzlu mají znaménko plus a vytékající proudy z uzlu znaménko mínus.

Jde vlastně o zákon "o zachování elektrických nábojů". Náboje nemohou nikde vzniknout ani zmizet, mohou se jenom bezezbytku přesouvat.

Jinak řečeno, součet proudů vtékajících do uzlu musí být roven součtu proudů z uzlu vytékajících.

Simulace obvodu s demonstrací 1. Kirchhofova zákona

Praktická ukázka

V tomto rozvětveném obvodu se proud vytékající ze zdroje rozdělí do dvou větví se žárovkami. Ampérmetry zapojené v jednotlivých větvích ukazují proudy v těchto větvích.

Ukázka skutečného zapojení a měření

0,68A=0,28A+0,4A

Druhý Kirchhoffův zákon pro napětí kolem uzavřené smyčky

Algebraický součet znamená "součet" se správnými znaménky: napětí souhlasné se směrem procházení smyčkou mají znaménko plus a napětí opačné ke směru procházení smyčkou znaménko mínus.

Jde vlastně o zákon "o zachování energie". Práce (energie) vydaná zdroji se bezezbytku spotřebovala na spotřebičích (změnila se na jinou formu energie, například na teplo).

Simulace obvodu s demonstrací 2. Kirchhofova zákona

Praktická ukázka

V tomto obvodu s jednou smyčkou se napětí zdroje rozdělí mezi spotřebiče - žárovku a rezistor (odporový vodič). Voltmetry zapojené k jednotlivým součástkám ukazují napětí zdroje a úbytky napětí na spotřebičích.

Ukázka skutečného zapojení a měření

3,23+0,44-3,67=0

Zdroj stejnosměrného proudu a jeho vlastnosti

Zdroj - například elektrický článek nebo akumulátor na svých svorkách trvale udržuje elektrické napětí a je schopen do uzavřeného elektrického obvodu trvale dodávat výkon, neboli udržuje v obvodu elektrický proud. Skutečný elektrický článek to samozřejmě nedokáže trvale, chemickou reakcí se postupně spotřebovává, až dojde k jeho "vybití". Kolik náboje je zdroj schopen celkově dodat se udává jako kapacita zdroje v jednotkách Ah nebo u menších článků mAh. Přesnějším údajem je ale celkové množství práce (energie), kterou je schopen zdroj dodat - udávané v jednotkách Wh.
Značka zdroje má delší čárku jako kladný pól a kratší jako záporný pól.

Základním parametrem zdroje je jeho svorkové napětí, jehož hodnota je u článků dána materiálem, ze kterého jsou vyrobeny elektrody. Například nejrozšířenější zinko-uhlíkové monočlánky mají napětí 1,5V. Dobíjecí nikl-kadmiové akumulátory mají 1,2V.

Pokud ke svorkám zdroje připojíme zátěž, zdroj začne vykonávat práci a protlačuje obvodem elektrický proud. Ale protože zdroj má svůj vnitřní odpor, na jehož překonání musí také vynaložit práci, sníží se tím množství práce, kterou zdroj dodává do obvodu. To se projeví snížením svorkového napětí.

Čím větší proud se ze zdroje odebírá, tím je svorkové napětí menší.
Tato vlastnost zdroje se zobrazuje jako tzv. zatěžovací charakteristika zdroje.

Zatěžovací charakteristika zdroje

Podle hodnoty vnitřního odporu a z toho vyplývajícího sklonu zatěžovací charakteristiky rozlišujeme zdroje na tvrdé a měkké. Tvrdý zdroj má malý vnitřní odpor a jeho svorkové napětí s rostoucí zátěží klesá jen málo. Měkký zdroj má velký vnitřní odpor a svorkové napětí klesá velmi rychle.

Vnitřní odpor zdroje

Vnitřní odpor zdroje lze zjistit následujícím postupem:

Nejdříve změříme svorkové napětí zdroje bez zátěže = napětí naprázdno U₀.

Potom připojíme zátěž R_Z, změříme proud, který zátěž odebírá ze zdroje I_Z a snížené svorkové napětí při zátěži U_Z.

Naměřené hodnoty jsou vlastně dva body zatěžovací charakteristiky:

Úbytek napětí na svorkách zdroje při jeho zatížení proudem I_Z je způsobeno vynaloženou prací na překonání vnitřního odporu zdroje. Z Ohmova zákona můžeme tedy spočítat hodnotu vnitřního odporu:

V našem pokusném měření můžeme spočítat:

Ideální zdroj napětí

Pro potřeby výpočtů obvodů se zavádí ideální zdroj napětí.
Je to takový zdroj, jehož vnitřní odpor je nulový (R_i=0). Na svorkách tohoto zdroje je neustále stejná hodnota napětí označovaná U₀. Tato hodnota se nezmění po připojení jakékoliv zátěže.

Zatěžovací charakteristika ideálního zdroje napětí

Skutečný zdroj napětí - náhradní schéma

Úplná zatěžovací charakteristika skutečného zdroje napětí

U skutečného zdroje napětí klesá svorkové napětí od hodnoty U₀ naprázdno (R_Z=∞) při zvyšujícím se proudu zátěží až k nulové hodnotě při zkratu (R_Z=0), kdy ze zdroje vytéká proud na krátko I_K.

Spojení rezistorů, transfigurace

Sériové spojení dvou rezistorů

Oběma rezistory protéká stejný proud I. Na obou rezistorech vznikají úbytky napětí, které se v součtu podle 2. Kirchhoffova zákona rovnají napětí na svorkách zdroje U₀.

Pokud chceme oba rezistory R₁ a R₂ nahradit jedním rezistorem R₁₂, bude na něm vznikat úbytek napětí, který je podle 2. Kirchhoffova zákona roven napětí zdroje.

Obě rovnice se rovnají U₀, takže platí, že se rovnají i druhé strany rovnic. Když do nich dosadíme podle Ohmova zákona, odvodíme vztah pro nahrazení dvou sériově zapojených rezistorů jedním:

Příklady sériových spojení rezistorů

Rezistory mají navzájem vodivě spojený jen jeden vývod, mezi ně není už nic dalšího zapojeno!

Jinak řečeno, oběma rezistory protéká jeden stejný proud.

Proud proteče prvním rezistorem a aniž by někam mohl odbočit, pokračuje druhým rezistorem.

Pokud spojíme sériově dva stejné rezistory, například 220 Ω a 220 Ω, výsledný odpor bude 2x větší, tedy 440 Ω.

Paralelní spojení dvou rezistorů

Proud přitékající do uzlu I₁₂ se rozdělí na dva, přičemž podle 1. Kirchhoffova zákona je hodnota vtékajícího proudu rovna součtu dvou proudů z uzlu vytékajících. Na obou rezistorech bude stejné napětí U₁₂.

Pokud chceme oba rezistory R₁ a R₂ nahradit jedním rezistorem R₁₂, musí jím protékat stejný proud I₁₂ a bude na něm stejný úbytek napětí U₁₂. Do rovnice dosadíme dle Ohmova zákona a upravíme...

Obě strany rovnice "převrátíme":

Nebo lze předchozí vztah dále upravit na společného jmenovatele a převrátit:

Příklady paralelních spojení rezistorů

Rezistory mají navzájem přímo vodivě spojené oba vývody!

Jinak řečeno, oba rezistory mají stejné napětí.

Lze nakreslit uzavřenou smyčku, ve které jsou pouze tyto dva rezistory a nic jiného.

Pokud spojíme paralelně dva stejné rezistory, například 220 Ω a 220 Ω, výsledný odpor bude 2x menší, tedy 110 Ω.

Zjednodušování sériově-paralelního spojení rezistorů

Příklad 1

Rezistory R2 a R3 jsou zapojeny paralelně - mají vodivě spojené oba vývody, nahradíme je jedním rezistorem R23, ve schématu tento nakreslíme místo jednoho z původních rezistorů a druhý odpojíme.

Rezistory R1 a R23 jsou zapojeny sériově - mají vodivě spojený jeden vývod bez odbočky, nahradíme je jedním rezistorem R123=Rx, ve schématu tento nakreslíme místo jednoho z původních rezistorů a místo druhého nakreslíme vodič.

Příklad 2

Rezistory R2 a R3 jsou zapojeny sériově - mají vodivě spojený jeden vývod bez odbočky, nahradíme je jedním rezistorem R23, ve schématu tento nakreslíme místo jednoho z původních rezistorů a místo druhého nakreslíme vodič.

Rezistory R1 a R23 jsou zapojeny paralelně - mají vodivě spojené oba vývody, nahradíme je jedním rezistorem R123=Rx, ve schématu tento nakreslíme místo jednoho z původních rezistorů a druhý odpojíme.

Sériové spojení n rezistorů

Pro spojování sériově zapojených rezistorů v libovolném počtu lze obdobným způsobem odvodit, že výsledná hodnota odporu R_S bude dána součtem hodnot odporů jednotlivých rezistorů R_k.

Paralelní spojení 3 rezistorů

Situace je obdobná jako u dvou rezistorů. Odvozením získáme následující vztahy:

Paralelní spojení n rezistorů

Transfigurace trojúhelník - hvězda

V některých případech pomůže ke zjednodušení výpočtu transfigurace zapojení tří rezistorů do trojúhelníka na zapojení do hvězdy:

Transfigurace hvězda - trojúhelník

V některých případech pomůže ke zjednodušení výpočtu transfigurace zapojení tří rezistorů do hvězdy na zapojení do trojúhelníka:

Příklad transfigurace

Spojení zdrojů

Sériové spojení zdrojů

Pokud potřebujeme zdroj většího napětí, než dodává jeden článek, můžeme tyto články spojovat za sebou, tzv. sériově - přičemž na kladný pól jednoho článku připojíme záporný pól druhého článku. Tím vznikne baterie článků, jejíž výsledné napětí je dáno součtem napětí jednotlivých článků, taktéž výsledný vnitřní odpor je dán součtem vnitřních odporů jednotlivých článků. Všemi články teče při zátěži stejný proud.

Při vytváření takovéto baterie pro trvalé používání je důležité spojovat akumulátory (dobíjecí články) o stejných parametrech tzn. stejná úroveň nabití (stejné napětí naprázdno), stejná kapacita, stejný vnitřní odpor. Pokud by došlo například k dřívějšímu vybití jednoho ze sériově zapojených článků, ostatní články budou dál protlačovat proud i skrze něj a tím dojde k jeho přepólování (nabití na opačnou polaritu), což má za následek trvalé poškození tohoto článku.

Paralelní spojení zdrojů

V případě potřeby většího proudu nebo větší kapacity, lze zdroje zapojovat i vedle sebe, tzv. paralelně - přičemž spojujeme navzájem kladné póly a navzájem záporné póly. Zde je však zapotřebí důsledně dodržet podmínku stejných napětí a stejných vnitřních odporů jednotlivých zdrojů. Výsledný proud je pak dán součtem proudů z jednotlivých zdrojů, vnitřní odpor je při dodržení uvedených podmínek v případě tří stejných zdrojů třikrát menší. Výsledné napětí je stejné jako napětí jednotlivých zdrojů.

Při vytváření takovéto baterie je opravdu důležité spojovat akumulátory (dobíjecí články) o stejných parametrech. Pokud by některý z článků byl více vybitý než ostatní, v okamžiku zapojení do něj potečou nebezpečně velké vyrovnávací proudy, což by mohlo způsobit jeho přehřátí!

Praktické aplikace sérioparalelního spojení článků do baterie

U baterií je pro jejich spolehlivý dlouhodobý provoz nezbytnou součástí elektronika BMS, která hlídá i napětí jednotlivých článků. Při nabíjení zajistí, aby se žádný z článků nepřebil a při vybíjení, aby u žádného článku nedošlo k podvybití.

Například u této notebookové baterie, kde jsou kvůli zvýšení kapacity vždy dva články paralelně a kvůli zvýšení napětí tři takovéto dvojice seriově, jsou do řidící elektroniky zapojeny i spoje mezi články.

Využití rezistorů

Omezovač proudu

Omezovač proudu umožňuje snížit proud obvodem.
Obvodem protéká jediný proud I, jehož velikost je z Ohmova zákona dána podílem napětí zdroje U₀ a celkového odporu obvodu vzniklého součtem sériového spojení omezovacího rezistoru R_o a zátěže R_z:

Hodnotu omezovacího rezistoru lze tedy spočítat z požadovaného proudu I, napětí zdroje a odporu zátěže úpravou z předchozího vzorce:

Dělič napětí

Dělič umožňuje rozdělit napětí v přesném poměru.
Obvodem protéká jediný proud I, který lze vyjádřit z Ohmova zákona třemi způsoby:

Z těchto rovnic lze odvodit, že napětí na rezistorech se dělí v poměru hodnot odporů:

A také vztah pro výpočet napětí na výstupu děliče:

Příklad výpočtu děliče napětí

Dělič proudu

Dělič umožňuje rozdělit proudy v přesném poměru
Na obou rezistorech je stejné napětí jako na zdroji a lze ho vyjádřit z Ohmova zákona třemi způsoby:

Z těchto rovnic lze odvodit že proudy rezistory se dělí v obráceném poměru hodnot odporů:

A také vztah pro výpočet proudu na jedné větvi děliče:

Příklad výpočtu děliče proudu

Předřadník voltmetru

Předřadník umožňuje n-krát zvětšit rozsah voltmetru přesným rozdělením napětí děličem napětí tvořeným předřadným rezistorem R_P a vnitřním odporem voltmetru R_V.

Příklad aplikace předřadníku voltmetru pro 10x větší rozsah

Bočník ampérmetru

Bočník umožňuje n-krát zvětšit rozsah ampérmetru přesným rozdělením proudu děličem proudu tvořeným bočníkem R_B a vnitřním odporem ampérmetru R_A.

Příklad aplikace bočníku ampérmetru pro 10x větší rozsah